Structure d'une onde scalaire-tensorielle.

Les théories unificatrices font apparaître un nouveau type d'interaction, de nature scalaire (e.g. Damour & Esposito-Farèse 1992): les champs scalaires apparaissent comme l'approximation de la théorie des supercordes aux basses énergies. Des champs scalaires cosmologiques figurent en outre dans les modèles inflationnaires étendus.

Le modèle de Brans-Dicke (Brans & Dicke 1961, Dicke 1964, cf Weinberg 1972) suppose un couplage entre le champ scalaire $\Phi$ et la courbure R de l'espace-temps de la relativité générale. Le champ scalaire est relié à la constante gravitationnelle G par le paramètre de couplage sans dimension $\omega$ tel que

$$G = \frac {2 \omega +4}{2 \omega +3} \Phi^{-1}$$ (23)

Le champ scalaire suit lui-même une évolution cosmologique si bien que la constante de la gravitation a une valeur locale et n'a plus le statut de constante universelle. Cette approche est généralisée par Wagoner (1970) à un couplage $\omega(\Phi)$ dépendant de la valeur du champ scalaire $\Phi$.

Ces théories sont décrites par l'action ${\cal{J}}$ suivante

$${\cal{J}} = -\frac{1}{16 \pi c} \int d^4x \sqrt{\vert g\vert... ...ha} \Phi_{,\alpha} \right ] + {\cal{J}}_{m}(g_{\mu \nu},\psi_m)$$ (24)

où ${\cal{J}}_{m}$ est l'action matérielle, fonction de la métrique et des champs matériels $\psi_m$ et où |g| est le déterminant de la métrique $g_{\mu \nu}$.

En supposant que le champ scalaire est la somme d'un champ moyen constant $\Phi_0$ et d'une perturbation $\phi$, le champ s'écrit

$$\Phi = \Phi_0 + \phi$$ (25)

La linéarisation par rapport à $h_{\mu \nu}$ et $\phi$ des équations de champ en théorie scalaire-tensorielle définies par l'action (B.26) donne

$$R^{(1)}_{\mu \nu} = \frac{8 \pi}{\Phi_0} (T^{(0)}_{\mu \nu} ... ...Phi_0} (\phi_{,\mu \nu} + \frac{1}{2} \Box \phi \eta_{\mu \nu})$$ (26)

$$\Box \phi = \frac{8 \pi}{2\omega (\Phi_0) + 3} T^{(0)}$$ (27)

Soit pour un champ scalaire de portée infinie, dans le vide

$$R^{(1)}_{\mu \nu} = \Phi_0^{-1} \phi_{,\mu \nu}$$ (28)

De manière générale, la perturbation à la métrique de l'espace-temps en théorie scalaire-tensorielle peut s'écrire

$$h_{\mu \nu} = h^{E}_{\mu \nu} - \eta_{\mu \nu} \frac{\phi}{\Phi_0}$$ (29)

où $h^{E}_{\mu \nu}$ est solution des équations d'Einstein écrites avec une constante effective de la gravitation $G_{eff} = c^4 \Phi_0^{-1}$. L'onde scalaire apparaît comme une composante longitudinale associée à la composante einsteinienne $h^{E}_{\mu \nu}$ transverse à la direction de propagation.