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Les équations d'Einstein relient les propriétés géométriques de
l'espace-temps à son contenu énergétique. Elles s'écrivent
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(8) |
où est le tenseur impulsion-énergie de la matière.
Par exemple, pour un élément de volume d'un corps macroscopique considéré comme un fluide parfait, le tenseur impulsion-énergie s'exprime par
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(9) |
où est la densité d'énergie du corps ( sa
densité de masse), p la pression du fluide et sa quadrivitesse.
Les équations (B.8) peuvent être écrites sous la forme
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(10) |
Dans le cas de faibles perturbations de l'espace-temps
plat, le tenseur métrique s'écrit
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(11) |
où est la métrique de Minkowski de signature
(1,-1,-1,-1).
La linéarisation par rapport à
des équations d'Einstein conduit à
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(12) |
Cette équation constitue l'équation de propagation de
la perturbation . L'existence de solutions radiatives décrivant
la propagation d'une perturbation de la métrique à la célérité de la
lumière s'interprète comme l'existence d'ondes gravitationnelles.
Il y a une liberté de jauge liée au choix arbitraire du système de
coordonnées: dans la jauge des coordonnées harmoniques définie par
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(13) |
l'équation de propagation (B.12) se simplifie en
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(14) |
soit dans le vide
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(15) |
L'équation de propagation (B.14) admet la solution des potentiels
retardés de Liénard et Wiechert.
La symétrie de laisse a priori 10 coefficients
indépendants pour décrire l'onde gravitationnelle. Ce nombre passe à 6
du fait de la liberté de jauge. L'invariance par un
changement infinitésimal du système de coordonnées
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(16) |
où est infiniment petit, préserve la jauge harmonique
à la condition que
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(17) |
Le nombre de coefficients réellement indépendants pour la perturbation
satisfaisant (B.15) est ramené à 2.
Une onde gravitationnelle se propageant dans la direction x3 est ainsi
décrite par les seuls coefficients non nuls
qui correspondent à deux états de polarisation rectilignes, transverses
à la direction de propagation, notés h+ et et de bases
respectives
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(18) |
Dans le cas d'un système binaire en orbite circulaire, les ondes
gravitationnelles sont générées à la fréquence double de la
fréquence de rotation du système. La puissance moyenne rayonnée sous
forme d'ondes gravitationnelles au cours d'une orbite s'écrit
dans l'approximation quadripolaire (Weinberg 1972)
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(19) |
où M est la masse totale du système, la pulsation orbitale, a
la séparation entre les masses et c la célérité de la lumière dans
le vide. Les composantes h+ et s'écrivent
où est l'angle entre l'axe de rotation du système et la ligne de
visée et où
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(20) |
étant la masse réduite et a la séparation entre les composantes
du système.
Dans le cas plus général d'un mouvement elliptique d'excentricité
e la puissance totale rayonnée est
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(21) |
où f(e) est une fonction de l'excentricité donnée par la formule de
Peters & Mattews (1963) dont l'approximation suivante se déduit simplement
(B. 1993)
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(22) |
Une orbite elliptique a cependant tendance à se circulariser rapidement, pour
des couples massifs et très serrés, car le
rayonnement est émis principalement au périgée.
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11/13/1998