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Structure d'une onde gravitationnelle en relativité générale.

Les équations d'Einstein relient les propriétés géométriques de l'espace-temps à son contenu énergétique. Elles s'écrivent
\begin{displaymath}
R_{\mu \nu} -\frac{1}{2}g_{\mu \nu} R= \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}\end{displaymath} (8)
$T_{\mu \nu}$ est le tenseur impulsion-énergie de la matière. Par exemple, pour un élément de volume d'un corps macroscopique considéré comme un fluide parfait, le tenseur impulsion-énergie s'exprime par
\begin{displaymath}
T_{\mu \nu} = (\epsilon + p) u_{\mu} u_{\nu} - p g_{\mu \nu}\end{displaymath} (9)
$\epsilon$ est la densité d'énergie du corps ($\epsilon / c^2$ sa densité de masse), p la pression du fluide et $u_{\mu}$ sa quadrivitesse. Les équations (B.8) peuvent être écrites sous la forme
\begin{displaymath}
R_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4}(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} 
T^{\alpha}_{\alpha}) \end{displaymath} (10)

Dans le cas de faibles perturbations $h_{\mu \nu}$ de l'espace-temps plat, le tenseur métrique s'écrit
\begin{displaymath}
g_{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} + h_{\mu \nu}\end{displaymath} (11)
$\eta_{\mu \nu}$ est la métrique de Minkowski de signature (1,-1,-1,-1).

La linéarisation par rapport à $h_{\mu \nu}$ des équations d'Einstein conduit à
\begin{displaymath}
R^{(1)}_{\mu \nu} \equiv \frac{1}{2}(
\Box h_{\mu \nu} - \pa...
 ...4} (T_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} 
T^{\alpha}_{\alpha})\end{displaymath} (12)

Cette équation constitue l'équation de propagation de la perturbation $h_{\mu \nu}$. L'existence de solutions radiatives décrivant la propagation d'une perturbation de la métrique à la célérité de la lumière s'interprète comme l'existence d'ondes gravitationnelles.

Il y a une liberté de jauge liée au choix arbitraire du système de coordonnées: dans la jauge des coordonnées harmoniques définie par
\begin{displaymath}
\partial_{\lambda} h^{\lambda}_{\mu} = \frac{1}{2} \partial_{\mu} 
h^{\lambda}_{\lambda} \end{displaymath} (13)
l'équation de propagation (B.12) se simplifie en
\begin{displaymath}
\Box h_{\mu \nu} = \frac{16 \pi G}{c^4} (T_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} T^{\alpha}_{\alpha})\end{displaymath} (14)
soit dans le vide
\begin{displaymath}
\Box h_{\mu \nu} = 0\end{displaymath} (15)

L'équation de propagation (B.14) admet la solution des potentiels retardés de Liénard et Wiechert.

La symétrie de $h_{\mu \nu}$ laisse a priori 10 coefficients indépendants pour décrire l'onde gravitationnelle. Ce nombre passe à 6 du fait de la liberté de jauge. L'invariance par un changement infinitésimal du système de coordonnées
\begin{displaymath}
x^{\mu} \rightarrow x'^{\mu} = x^{\mu} + \epsilon^{\mu} \end{displaymath} (16)
$\epsilon^{\mu}$ est infiniment petit, préserve la jauge harmonique à la condition que
\begin{displaymath}
\Box \epsilon^{\mu} = 0\end{displaymath} (17)
Le nombre de coefficients réellement indépendants pour la perturbation satisfaisant (B.15) est ramené à 2. Une onde gravitationnelle se propageant dans la direction x3 est ainsi décrite par les seuls coefficients non nuls

qui correspondent à deux états de polarisation rectilignes, transverses à la direction de propagation, notés h+ et $h_{\times}$ et de bases respectives
\begin{displaymath}
e_+ = \left(
\begin{array}
{cc}
1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{arra...
 ... \left(
\begin{array}
{cc}
0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)\end{displaymath} (18)

Dans le cas d'un système binaire en orbite circulaire, les ondes gravitationnelles sont générées à la fréquence double de la fréquence de rotation du système. La puissance moyenne rayonnée sous forme d'ondes gravitationnelles au cours d'une orbite s'écrit dans l'approximation quadripolaire (Weinberg 1972)
\begin{displaymath}
P(2 \omega) = \frac{32 G \omega^6 M^2 a^4}{5 c^5}\end{displaymath} (19)
M est la masse totale du système, $\omega$ la pulsation orbitale, a la séparation entre les masses et c la célérité de la lumière dans le vide. Les composantes h+ et $h_{\times}$ s'écrivent

$\theta$ est l'angle entre l'axe de rotation du système et la ligne de visée et où
\begin{displaymath}
\gamma = 2 \frac{G^{5/3} \mu M^{2/3} \omega^{2/3}}{c^4} \equiv 2 \frac{G \mu
a^2 \omega^2}{c^4}\end{displaymath} (20)
$\mu$ étant la masse réduite et a la séparation entre les composantes du système.

Dans le cas plus général d'un mouvement elliptique d'excentricité e la puissance totale rayonnée est
\begin{displaymath}
P = P(2 \omega)\times f(e) \end{displaymath} (21)
f(e) est une fonction de l'excentricité donnée par la formule de Peters & Mattews (1963) dont l'approximation suivante se déduit simplement (B. 1993)
\begin{displaymath}
f(e)=(1-e^2)^{-7/2}~.~(1+3e^2~+~\frac{3}{8}~e^4)\end{displaymath} (22)
Une orbite elliptique a cependant tendance à se circulariser rapidement, pour des couples massifs et très serrés, car le rayonnement est émis principalement au périgée.


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11/13/1998