Source gravitationnelle continue.

Le calcul numérique de (D.6) est rendu très délicat par les oscillations rapides de l'intégrant et le calcul ne peut pas être mené in extenso jusqu'à l'observateur du fait du trop grand nombre d'échantillons que cela représente. Je propose la forme analytique approchée suivante, établie dans l'article en annexe partie G

$$S^{(1)} (\rho) =2K^0 \gamma \alpha_{\rho}^{-1}\{[f^{(1)}(y_{... ...ho} - f^{(1)}(y_{\rho}^{-1}) \sin \alpha_{\rho} y_{\rho}^{-1}]+$$

$$\alpha_{\rho}^{-2}[f^{(2)}(y_{\rho}) \cos \alpha_{\rho} y_{\... ...}) \cos \alpha_{\rho} y_{\rho}^{-1}] + O(\alpha_{\rho}^{-3})\}$$ (110)

$$\mbox{o\`u } \left \{ \begin{array} {ccc} \displaystyle y_{\... ...mbda_g \\ & & \\ f(y) & = & (1+y^2)^{-1}\end{array}\right.$$

et où f⁽ⁿ⁾ est la dérivée n^{<tex2html_verb_mark>43<tex2html_verb_mark>} de L'intégration est menée sur un domaine symétrique [-L;L]. Cette hypothèse n'est pas restrictive comme le montrent les simulations numériques (cf Fig.D.2 et D.3) et des calculs plus généraux.

Je m'intéresse au cas de petits paramètres d'impact, i.e lorsque la source gravitationnelle est à moins de $1^{\circ}$ de la ligne de visée. $\rho$ est également supposé grand devant la longueur d'onde gravitationnelle car $\rho < \lambda_g$ constitue la région de génération des ondes gravitationnelles. Le potentiel variable qui est ressenti par les rayons lumineux y caractérise simplement le changement de configuration du système considéré (Thorne 1983).

Les conditions précédentes sur le paramètre d'impact conduisent à

$$y_{\rho} \sim 2L/\rho \gg 1$$ (111)

et la relation (D.7) se simplifie en

$$\frac{S^{(1)}}{K^0}=-\frac{\gamma \lambda_g}{\pi L} \sin (\a... ...mbda_g}{\rho})^2 \cos (\alpha_{\rho} y_{\rho}^{-1} + \phi_0)$$ (112)

Deux régions distinctes peuvent être isolées, suivant que le paramètre d'impact se situe à l'intérieur ou à l'extérieur du paraboloïde d'équation $\rho^2 = \lambda_g L$, ce qui définit respectivement les zones interne et externe.

• La région interne
  Le paramètre d'impact vérifie la condition $\lambda_g \ll \rho \ll \sqrt{\lambda_g L}$ et (D.9) donne

  $$S^{(1)}(\phi_0) \sim - \frac{K^0 \gamma}{\pi^2} \left( \frac{\lambda_g}{\rho} \right)^2 \cos \phi_0$$ (113)

  représentée Fig.D.2.
  
   

  Figure: zone interne

  
  
  

  La déformation (D.10) ne dépend que de la valeur du paramètre d'impact et non de la distance à l'observateur: les rayons lumineux véhiculent l'empreinte de la radiation gravitationnelle subie près de la source.

• La région externe
  C'est la région pour laquelle $\sqrt{\lambda_g L} \ll \rho \ll L$.La relation (D.9) s'écrit en première approximation

  $$S^{(1)}=-K^0 \frac{\gamma \lambda_g}{\pi L} \sin (\alpha_{\rho} y_{\rho}^{-1} + \Phi_o)$$ (114)

  représentée Fig.D.3.

  
  

   

  Figure: zone externe

  
  
  

  L'amplitude maximale des déformations est $\lambda_g/\pi L$, ce qui traduit un affaiblissement des déformations au cours de la propagation dans le milieu perturbé. La déformation est locale car proportionnelle à l'amplitude de l'onde gravitationnelle à l'observateur. Ce comportement a été mis en évidence par Bertotti (1972), par un calcul basé sur la fonction d'autocorrélation des déformations de phase optique: la fonction d'autocorrélation ne s'accroît pas proportionnellement à l'épaisseur du milieu traversé.

  La relation (D.11) montre que tout se passe comme si les rayons lumineux ne voyaient une perturbation cohérente que sur une fraction $\lambda_g / \pi$ du cycle gravitationnel de l'onde à l'observateur.

  Les déformations optiques se comportent de façon analogue à un ruban de caoutchouc ondulé que l'on étire. Au fur et à mesure de la propagation les bosses s'amenuisent et leur pas s'agrandit à un paramètre d'impact donné. Les bosses semblent se propager à une vitesse supraluminale car leur pas est supérieur à $\lambda_g$.