Déformations de phase optique par des ondes gravitationnelles.

Les déformations de phase sont régies, aux approximations de l'optique géométrique et des faibles perturbations, par l'équation de propagation (C.38). En choisissant l'axe des z tel qu'il soit parallèle à la ligne de visée, (C.38) s'écrit compte tenu de (C.72) et (C.73), pour une source de lumière à l'infini

$$K^0 S^{(1)}=\frac{1}{2} \int \limits_{-\infty}^{L} h_{\mu \nu} K^{\mu} K^{\nu} dz$$ (104)

où L est la distance entre la source d'ondes gravitationnelles et l'observateur.

L'onde électromagnétique est décrite par son vecteur d'onde $K^{\mu} = K^0(1,0,0,-1)$ où K⁰ est une constante.

Au point courant M où le rayon rencontre l'onde gravitationnelle (cf Fig.D.1), $K^{\mu}$ s'écrit dans le référentiel local (x',y',z') de l'onde gravitationnelle

$$K^{\mu} = K^0(1,\cos \psi \sin \alpha, \sin \psi \sin \alpha, \cos \alpha)$$ (105)

 

Figure: Schéma de l'interaction

Compte tenu de (D.2) et (B.19), (D.1) s'écrit

$$S^{(1)}=K^0 \int \limits_{-\infty}^{L} h(M) dz$$ (106)

avec

$$h(M)=\frac{1}{2}\sin^2 \alpha (h_+(M) \cos2 \psi + h_{\times}(M) \sin 2 \psi)$$ (107)

Le terme en $\sin^2 \alpha$ traduit le caractère tensoriel transverse de l'onde gravitationnelle: les photons qui voyagent dans la direction de l'onde gravitationnelle ($\alpha=0$) ne subissent aucun effet alors que l'effet est maximal pour une interaction tangentielle ($\alpha=\pi/2$).

Conformément à la Fig.D.1, lorsque l'axe de rotation du système est dans le plan du ciel de l'observateur, les rayons lumineux contenus dans le plan de l'orbite interagissent avec des ondes gravitationnelles pour lesquelles $\theta = \pi/2$. En reportant (B.21) dans (D.4), il vient

$$h=\frac{1}{2} \frac{\gamma}{r} \sin^2 \alpha \cos (2 \omega_0 t + \phi)$$ (108)

où $\gamma$ est donné par (B.22).

L'analyse détaillée des perturbations de phase optiques est désormais menée dans cette configuration particulière. Le calcul reste cependant suffisamment général pour décrire le comportement global des déformations de phases optiques.

L'origine des temps est fixée à la traversée du plan (xy). Les rayons lumineux rencontrent en M, à la distance z de ce plan, une onde gravitationnelle émise au temps r/c antérieur. La différence de phase est donc proportionnelle à z-r. Compte tenu de (D.5), (D.3) devient

$$S^{(1)}(\rho, \phi_0) = \frac{1}{2} K^0 \gamma \rho^2 \int \... ...nfty}^{L} r^{-3} \cos [2 \pi \lambda_g^{-1} (z-r) + \phi_0] dz$$ (109)

où $\rho$ est le paramètre d'impact du rayon lumineux par rapport à la source gravitationnelle relié à $\alpha$ par $\sin \alpha = \rho/r$, $\lambda_g$ est la longueur d'onde gravitationnelle et $\phi_0 = \omega t_0$ le déphasage à la traversée du plan (xy) à la date t₀.

La relation (D.6) correspond à la relation établie par A.Labeyrie (1993) pour les déformations géométriques W⁽¹⁾ d'un plan d'onde optique engendrées par des ondes gravitationnelles. Le calcul détaillé qui a été présenté montre cependant que cette relation décrit en fait les déformations de phase optiques, qui prennent en compte d'éventuelles variations spectrales (cf. C$\S$5).