Modulation d'intensité.

La région grisée Fig.C.3 représente une perturbation localisée. La distribution d'intensité I₀ sur le front d'onde est constante à la sortie de la zone perturbée. Cette distribution évolue ensuite au cours de la propagation. L'observateur est situé à la distance L de la zone d'interaction. Les rayons lumineux reçus par cet observateur proviennent d'une zone qui découpe un arc de longueur e sur le front d'onde optique déformé, dans le plan de la Fig.C.3. Soit R le rayon de courbure local du front d'onde et a le diamètre du télescope. En assimilant les arcs à des segments, il vient

$$\frac{e}{a}= \frac{R}{R+L}$$ (92)

 

Figure:

Pour une perturbation dynamique, les déformations des fronts d'onde optique successifs évoluent de même que la courbure des zones envoyant les rayons à l'observateur. En définissant la courbure par C=1/R, la différentielle logarithmique de l'expression précédente conduit à

$$\frac{de}{e}= L\times \frac{dC}{1+LC}$$ (93)

Dans le cas où la courbure sagittale peut être négligée, i.e. où la déformation est quasiment de révolution, l'intensité mesurée par l'observateur est directement proportionnelle au flux passant à travers l'élément de longueur e et la modulation d'intensité à l'observateur est, pour de petites déformations

$$\frac{\Delta I}{I_0}= L\times \frac{\Delta C}{1+LC}$$ (94)

où $\Delta$ symbolise la variation entre deux instants d'observation associés aux dates t_i et t_i+1 pour lesquelles les fronts d'onde optique présentent les déformations W⁽¹⁾_i et W⁽¹⁾_i+1 respectivement. C devient la courbure totale du front d'onde lorsque intervient la courbure sagittale.

Dans l'approximation des faibles déflexions la courbure se réduit à la dérivée seconde du profil du front d'onde. Le terme au dénominateur de (C.66) doit être pris en compte dans le cas d'une courbure statique sur laquelle viennent se greffer les perturbations. En l'absence d'une telle déformation statique la relation (C.66) s'écrit

$$\frac{\Delta I}{I_0}= L.\Delta \left( [\frac{\partial^2}{\pa... ...l x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}] W^{(1)}_i(x,y)\right)$$ (95)

À la sortie de la perturbation, les déformations W⁽¹⁾_i(x,y) se propagent librement sur la distance L. La relation (C.67) s'écrit donc également

$$\frac{\Delta I}{I_0}= \Delta \left( \int \limits_{z_2}^{z_2+... ... + \frac{\partial^2}{\partial y^2}] W^{(1)}_i(x,y) dz \right)$$ (96)

W⁽¹⁾ étant indépendant de z et t pour un front d'onde optique donné, la relation précédente s'écrit aussi

$$\frac{\Delta I}{I_0}= \Delta \left( \int \limits_{z_2}^{z_2+L} (\Box W^{(1)}_i) dz \right)$$ (97)

où l'opérateur $\Box=\partial^2/\partial t^2 - 1/c^2 \sum \limits_{i=1}^{i=3} \partial^2/ \partial x_i^2$ est le d'Alembertien ordinaire.

Voyons comment cette relation se rapproche de (C.18). Pour une onde plane électromagnétique sur un espace-temps plat, l'intégrant de (C.18) donne, dans le cas des faibles perturbations

$$a \Box_g S \sim a^{(0)} \Box S^{(1)}$$ (98)

où a⁽⁰⁾ est constant.

La variation géométrique de l'intensité est liée à la variation du carré de l'amplitude scalaire soit

$$\frac{\Delta I}{I_0} = \Delta \left( 2\frac{a^{(1)}}{a^{(0)}} \right)$$ (99)

L'intégration est menée le long du trajet non perturbé du rayon lumineux, i.e. une ligne droite de l'espace plat. Le paramètre affine v de (C.12) est alors lié au temps propre de l'observateur par

$$dv = \frac{c dt}{K^0}$$ (100)

que l'on identifie à

$$dv = \frac{dz}{K^0}$$ (101)

avec un choix particulier du système de coordonnées pour lequel l'axe des z est parallèle à la direction de propagation des rayons lumineux. D'où

$$\frac{\Delta I}{I_0}= \Delta \left( \int \limits_{v_2}^{v_{o... ...ta \left( \int \limits_{z_2}^{z_2+L} (\Box S^{(1)}) dz \right)$$ (102)

Identifier (C.74) et (C.69) revient à identifier au facteur multiplicatif K⁰ près $\Box W^{(1)}$ et $\Box S^{(1)}$. Les déformations W⁽¹⁾_i, d'après la définition (C.63), ne prennent en compte que les variations géométrique de chemin optique. Ces variations ne sont égales aux variations de S⁽¹⁾/K⁰ qu'à un terme $\omega t$ près, où $\omega$ est la pulsation du rayonnement électromagnétique. Si la perturbation n'engendre pas de variations temporelles de $\omega$, une hypothèse admissible classiquement, alors

$$\Box S^{(1)} \equiv K^0 \Box W^{(1)}$$ (103)

et les deux méthodes pour évaluer la scintillation convergent naturellement.