Méthode de calcul.

Soit $A^{\mu}$ le potentiel vecteur complexe du champ électromagnétique et $F^{\mu \nu}$ le tenseur du champ électromagnétique défini par

$$F_{\mu \nu} = {\cal{R}}e (A_{\nu;\mu}- A_{\mu;\nu})$$ (30)

Les équations de Maxwell s'écrivent dans le vide

$$F^{\mu \nu}_{\verb*+ +;\nu} = 0$$ (31)

et l'équation de propagation de $A^{\mu}$ sur un espace-temps courbe s'obtient en reportant (C.1) dans (C.2). La différence entre les deux dérivées covariantes successives fait apparaître le tenseur de Riemann d'après (B.6), en l'occurence le tenseur de Ricci à cause de la répétition des indices, ce qui conduit à l'équation (Misner et al. 1973)

$$A^{\mu ;\alpha}_{\verb*+ +;\alpha} - R_{\verb*+ +\alpha}^{\mu} A^{\alpha} = 0$$ (32)

avec la condition de Jauge de Lorentz

$$A^{\mu}_{\verb*+ +;\mu} = 0$$ (33)

Le tenseur impulsion-énergie du champ électromagnétique est

$$T^{\mu \nu} = \frac{1}{4 \pi} (- F^{\mu \rho} F^{\nu}_{.\rho} + \frac{1}{4} F_{\alpha \beta} F^{\alpha \beta} g^{\mu \nu})$$ (34)

et un observateur situé au point x de l'espace-temps, animé de la quadrivitesse $u^{\alpha}$, mesure la densité d'énergie électromagnétique

$$\mu_{el}(x,u) = T^{\mu \nu}(x) u_{\mu} u_{\nu}$$ (35)

Le flux d'énergie ${\cal{F}}(x,u)$ traversant l'unité de surface normale à la direction de propagation de l'onde électromagnétique, pendant l'unité de temps, est conformément à la Fig.C.1

$${\cal{F}}(x,u) = c \mu_{el} (x,u)$$ (36)

 

Figure: Flux d'énergie électromagnétique.

Divisée par l'énergie $\epsilon$ d'un photon, la relation précédente donne le flux de photons ${\cal{N}}(x,u)$ compté par l'observateur de quadrivitesse $u^{\alpha}$ en x.