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Définitions et notations.

Les indices grecs sont incrémentés de 0 à 3; l'indice 0 désigne la coordonnée temporelle et les autres indices correspondent aux coordonnées spatiales.

Une quantité vectorielle $T^{\mu}$ est définie localement par ses quatre composantes contravariantes $T^{\mu}$ dans une base de vecteurs $e_{\mu}$ tangents aux lignes de coordonnées $x^{\mu}$ au point considéré.

Le symbole (,) désigne une dérivée simple: par exemple $T^{\mu}_{\verb*+ +,\nu}$ désigne la dérivée partielle de la quantité vectorielle $T^{\mu}$ par rapport à la variable $x^{\nu}$ .

En coordonnées curvilignes le carré d'un élément de longueur est une forme quadratique des différentielles $dx^{\mu}$
\begin{displaymath}
ds^2 = g_{\mu \nu} dx^{\mu} dx^{\nu}\end{displaymath} (1)
où les $g_{\mu \nu}$ sont des fonctions des coordonnées spatiales x1, x2, x3 et de la coordonnée temporelle x0. L'intervalle élémentaire ds2 étant un scalaire, les $g_{\mu \nu}$ sont les composantes d'un tenseur covariant appelé tenseur métrique: les quantités $g_{\mu \nu}$ qui déterminent toutes les propriétés géométriques dans tout système de coordonnées curviligne donné définissent la métrique de l'espace-temps. Ce tenseur est symétrique .

Les composantes contravariantes $g^{\mu \nu}$ sont définies par
\begin{displaymath}
g^{\mu \sigma} g_{\rho \mu} = \delta^{\sigma}_{\rho}\end{displaymath} (2)
$\delta^{\sigma}_{\rho}$ est nul pour $\sigma \neq \rho$ et égal à un pour $\sigma = \rho$.

Les indices sont élevés à l'aide du tenseur métrique $g^{\mu \nu}$ et abaissés avec $g_{\mu \nu}$.

Dans le voisinage d'un point, la courbure de l'espace induit un changement élémentaire d'orientation de la base de vecteurs. Ce changement est décrit par les symboles de Christoffel, ou connexion affine, qui s'expriment en fonction du tenseur métrique et de ses dérivées par
\begin{displaymath}
\Gamma^{\mu}_{\verb*+ +\alpha \beta} = \frac{1}{2} g^{\mu \n...
 ...lpha, \beta} + 
g_{\nu \beta, \alpha} - g_{\alpha \beta, \nu}) \end{displaymath} (3)

La convention d'Einstein est adoptée: la sommation est faite sur les indices répétés en position haute et basse.

La mesure de la variation intrinsèque de $T^{\mu}$ entre deux points infiniment voisins nécessite de prendre en compte le changement d'orientation de la base: la dérivation covariante associée notée (;) s'écrit
\begin{displaymath}
T^{\mu}_{\verb*+ +;\nu} = T^{\mu}_{\verb*+ +,\nu} + \Gamma^{\mu}_{\nu \alpha} 
T^{\alpha} \end{displaymath} (4)

Dérivation covariante et dérivation simple se confondent dans le cas d'une quantité scalaire T
\begin{displaymath}
T_{;\alpha} = T_{,\alpha}\end{displaymath} (5)

En relativité générale, la permutation de deux dérivées covariantes successives d'une même quantité introduit le tenseur de Riemann $R^{\alpha}_{.\mu \sigma \nu}$. Ainsi, pour un champ de vecteur $w^{\rho}$
\begin{displaymath}
w^{\rho}_{\verb*+ +;\mu ;\nu} - w^{\rho}_{\verb*+ +;\nu ;\mu} = -
R^{\rho}_{. \sigma \mu \nu} w^{\sigma} \end{displaymath} (6)
Le tenseur de Riemann s'exprime en fonction des symboles de Christoffel par
\begin{displaymath}
R^{\rho}_{. \sigma \mu \nu} = \Gamma^{\rho}_{\sigma \nu,\mu}...
 ...igma \nu} -
\Gamma^{\rho}_{\eta \nu} \Gamma^{\eta}_{\sigma \mu}\end{displaymath} (7)

Le tenseur de Ricci est défini à partir de la contraction du tenseur de Riemann $R_{\mu \nu} = g^{\alpha \beta} R_{\alpha \mu \beta \nu}$ et la courbure scalaire est définie par la contraction $g^{\alpha
\beta}~R_{\alpha \beta}$ du tenseur de Ricci.


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11/13/1998