Une quantité vectorielle est définie localement par ses quatre composantes contravariantes dans une base de vecteurs tangents aux lignes de coordonnées au point considéré.
Le symbole (,) désigne une dérivée simple: par exemple désigne la dérivée partielle de la quantité vectorielle par rapport à la variable .
En coordonnées curvilignes le carré d'un élément de longueur est une forme quadratique des différentielles
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Les composantes contravariantes sont définies par
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Les indices sont élevés à l'aide du tenseur métrique et abaissés avec .
Dans le voisinage d'un point, la courbure de l'espace induit un changement élémentaire d'orientation de la base de vecteurs. Ce changement est décrit par les symboles de Christoffel, ou connexion affine, qui s'expriment en fonction du tenseur métrique et de ses dérivées par
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La convention d'Einstein est adoptée: la sommation est faite sur les indices répétés en position haute et basse.
La mesure de la variation intrinsèque de entre deux points infiniment voisins nécessite de prendre en compte le changement d'orientation de la base: la dérivation covariante associée notée (;) s'écrit
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Dérivation covariante et dérivation simple se confondent dans le cas d'une quantité scalaire T
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En relativité générale, la permutation de deux dérivées covariantes successives d'une même quantité introduit le tenseur de Riemann . Ainsi, pour un champ de vecteur
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Le tenseur de Ricci est défini à partir de la contraction du tenseur de Riemann et la courbure scalaire est définie par la contraction du tenseur de Ricci.