next up previous contents
Next: Propagation du front d'onde Up: La lentille gravitationnelle statique. Previous: La lentille gravitationnelle statique.

Déformation du front d'onde optique.

La présence d'un corps de masse M modifie la métrique de l'espace-temps. Dans l'hypothèse d'une masse statique sphérique les propriétés de l'espace-temps sont décrites par la métrique de Schwarzschild dont la solution exacte est en coordonnées harmoniques (e.g. Weinberg 1972)

G est la constante de la gravitation et c la vitesse de la lumière dans le vide. Cette écriture utilise le choix (-+++) pour la signature de la métrique de l'espace plat, à l'opposé de notre convention. La perturbation $h_{\mu \nu}$ de (B.11) s'écrit donc pour nous, d'après (D.22) à (D.24)

au premier ordre en Rs/rRs = 2GM/c2 est le rayon de Schwarzschild de l'objet.

Une onde électromagnétique plane monochromatique subit une perturbation de phase S(1) donnée par (D.1) au passage près de la lentille.

En reportant (D.25) à (D.27) dans (D.1), il vient
\begin{displaymath}
\frac{S^{(1)}}{K^0} = -R_s \int \limits_{L'}^{L} \frac{dz}{r(z)} \end{displaymath} (125)
L'observateur est à la distance L de la lentille et la source lumineuse d'arrière plan à la distance $L' \rightarrow -\infty$. L'objet est supposé proche de la ligne de visée, i.e le paramètre d'impact $\rho$ des rayons lumineux est très petit devant L. Dans cette approximation, la relation (D.28) donne
\begin{displaymath}
\frac{S^{(1)}}{K^0} = 2R_s \ln \rho + cste \end{displaymath} (126)
Ces déformations transverses s'identifient aux variations géométriques de chemin optique W(1) comme indiqué partie C $\S5$, la lentille n'introduisant pas de décalage spectral notable, puisque les effets en amont et en aval se compensent, d'où
\begin{displaymath}
W^{(1)} \equiv 2R_s \ln \rho \end{displaymath} (127)

La déflexion $\delta$ subie par les rayons lumineux est donnée par (D.14), soit le résultat classique (e.g Weinberg 1972)
\begin{displaymath}
\delta = \frac{2 R_s}{\rho}\end{displaymath} (128)


 
Figure: Lentille gravitationnelle
\begin{figure}
\epsfxsize=10cm
\epsfysize=15cm
\epsfbox{lentille.eps}
{\footnote...
 ...se 
d'arri\`ere plan sous la forme d'un anneau ({\it cf. Fig.D6}).} \end{figure}

Dans le cas de l'éclipse d'une étoile par le Soleil, le paramètre d'impact minimum est $\rho = R_{\odot}$. La déflexion correspondante (D.31) est de 1.75". Les mesures effectuées dès 1919 sur une douzaine d'étoiles ont conduit à des valeurs de $1.98 \pm 0.12''$ et $1.61 \pm 0.31''$ (Weinberg 1972). Entâchées d'incertitudes importantes, ces observations ont cependant conforté la Relativité Générale, car la théorie Newtonienne appliquée en donnant une masse au photon est en défaut d'un facteur deux.

Le calcul de la déflexion (D.31) montre que tout se passe comme si les rayons lumineux traversaient un milieu d'indice de réfraction
\begin{displaymath}
n=1-\frac{2U}{c^2}\end{displaymath} (129)
U est le potentiel Newtonien.


next up previous contents
Next: Propagation du front d'onde Up: La lentille gravitationnelle statique. Previous: La lentille gravitationnelle statique.

11/13/1998