Le terme spectral local.

Il reste à évaluer la perturbation $u^{(1)\mu}_{,0}$ de la quadrivitesse de l'observateur au passage d'une onde scalaire, pour un observateur en chute libre, i.e dont la trajectoire est une géodésique de la métrique $\eta+h$ qui s'écrit

$$\frac{du^{\mu}}{ds} + \Gamma^{\mu}_{\rho \sigma} u^{\rho} u^{\sigma} = 0$$ (78)

avec par définition

$$\frac{du^{\mu}}{ds} = u^{\lambda} u^{\mu}_{\verb*+ +,\lambda}$$ (79)

ce qui donne au premier ordre, compte tenu de u⁽⁰⁾=(1,0,0,0)

$$\frac{du^{(1)\mu}}{ds} = u^{(0)\lambda} u^{(1)\mu}_{\verb*+ +,\lambda} \equiv \frac{du^{(1)\mu}}{dx^0}$$ (80)

Comme $\Gamma^{\mu}_{\rho \sigma}$ est du premier ordre en h d'après (B.3) et (B.11), la linéarisation de (C.49) donne avec (C.51), en se plaçant dans la jauge des coordonnées harmoniques qui permet d'éliminer d'après (B.18) les composantes h_{0 i}^E

Il s'ensuit que

$$\frac{du^{(1)\nu}}{dx^0} K_{\nu} = \left. \frac{1}{2}\frac{\... ...ft. \frac{1}{2}\frac{\phi_{,i} K_i}{\Phi_0} \right\vert _{obs}$$ (81)

En notant Nⁱ les composantes spatiales du vecteur unitaire $\vec{N}$ donnant la direction de propagation des rayons lumineux, défini par $\vec{N} = \vec{K}/K^0$, il vient

$$\frac{du^{(1)\nu}}{dx^0} \frac{K_{\nu}}{K^0} = \left. \frac{... ...2} \vec{N}.\vec{\nabla} \frac{\phi}{\Phi_0} \right\vert _{obs}$$ (82)

où $\vec{\nabla}$ désigne l'opérateur gradient. $\phi$ est une fonction d'une variable u (phase) que l'on peut écrire sous la forme

$$u(x) = u(x_{obs}) + L_{\mu}( x^{\mu} - x^{\mu}_{obs} ) + O(\vert x^{\mu} - x^{\mu}_{obs}\vert^2)$$ (83)

avec

$$L^{\mu} = const.$$ (84)

Les relations (C.55) et (C.56) traduisent le fait que l'onde scalaire est localement plane à l'observateur. Les composantes spatiales Lⁱ indiquent la direction de propagation $\vec{L}$ de l'onde scalaire à l'observateur. On a alors

$$\vec{N}.\vec{\nabla} \phi = - \vec{N}.\vec{L} \dot{\phi}$$ (85)

avec $\dot{\phi} \equiv d \phi(u)/ du$ et $\phi_{,\mu} = \dot {\phi} u_{\mu}$. Soit $\alpha$ l'angle entre les directions de propagation des rayons lumineux et de l'onde scalaire à l'observateur. La relation (C.54) s'écrit en explicitant (C.57)

$$u^{(1)\nu}_{\verb*+ +,0} \frac{K_{\nu}}{K^0} = \left. \cos^... ...\alpha}{2} \right).\frac{\phi_{,0}}{\Phi_0} \right\vert _{obs}$$ (86)