La perturbation spectrale.

La phase du rayonnement électromagnétique s'écrit à l'approximation des faibles perturbations

S = S⁽⁰⁾ + S⁽¹⁾

Par simplicité d'écriture, on note $k^{(0)}_{\mu} = S^{(0)}_{, \mu} = K_{\mu}$ d'où

$$k_{\mu} = K_{\mu} + S^{(1)}_{, \mu}$$ (65)

L'équation fondamentale (C.13) donne à l'ordre zéro $K_{\mu} K^{\mu} = 0$ qui traduit l'isotropie du vecteur d'onde non perturbé; au premier ordre (C.13) donne l'équation de propagation des déformations de phase (Tourrenc 1976, Linet & Tourrenc 1976)

$$K^{\alpha} S^{(1)}_{\verb*+ +,\alpha} \equiv \frac{dS^{(1)}}{dv} = \frac{1}{2} h_{\alpha \beta} K^{\alpha} K^{\beta}$$ (66)

qui intégrée le long du trajet non perturbé du rayon lumineux donne

$$S^{(1)}_{\vert obs} = \frac{1}{2} \int \limits_{-\infty}^{v_{obs}} h_{\alpha \beta} K^{\alpha} K^{\beta} dv$$ (67)

où v_obs désigne la position de l'observateur en l'absence de perturbation.

Bien qu'intégré sur la ligne de visée, l'effet n'en n'est pas pour autant cumulatif et S⁽¹⁾ = O(h) (cf. partie D).

D'après (C.26) et (C.36), la variation spectrale est

$$\frac{z^{(1)}}{1+z^{(0)}} = - \left. \frac{u^{(0) \nu} S^{(1... ... + u^{(1) \nu} K_{\nu}}{u^{(0) \mu}K_{\mu}}\right \vert _{obs}$$ (68)

Soit, pour un observateur de quadrivitesse $u^{(0)^\alpha}=(1,0,0,0)$ en chute libre dans Minkowski

$$\frac{z^{(1)}}{1+z^{(0)}} = - \frac{S^{(1)}_{\verb*+ +,0}}{K^0} - \frac{K_{\nu} u^{(1) \nu}}{K^0}$$ (69)

et en y reportant (C.38)

$$\frac{z^{(1)}}{1+z^{(0)}} = - \frac{1}{2K^0} \int \limits_{-... ...(v)) K^{\alpha} K^{\beta} dv - \frac{u^{(1) \nu} K_{\nu}}{K^0}$$ (70)

La perturbation spectrale (C.41) rend compte du changement de fréquence subi par l'onde électromagnétique à la traversée de la perturbation gravitationnelle et des effets Doppler et Einstein à l'observateur.