L'approximation de l'optique géométrique.

Le potentiel vecteur complexe s'écrit

$$A^{\mu} = {\cal{A}}^{\mu} e^{iS}$$ (37)

où les réels ${\cal{A}}^{\mu}$ et S désignent respectivement l'amplitude et la phase du rayonnement électromagnétique.

Les variations de l'amplitude sont lentes sur l'échelle de distance considérée, contrairement aux variations de phase. Cette caractéristique permet de développer $A^{\mu}$ par rapport à un paramètre sans dimension $\xi=\lambda / {\cal{L}}$ où $\lambda$ est la longueur d'onde optique et ${\cal{L}}$ l'échelle typique sur laquelle l'amplitude varie de manière appréciable (Misner et al. 1973). Les solutions de (C.3) sont de la forme

$$A^{\mu} = [a^{\mu} + \xi b^{\mu} + \xi^2 c^{\mu} + ..] \exp [\frac{i}{\xi} \hat{S}(x)]$$ (38)

où $a^{\mu}$, $b^{\mu}$ .. sont complexes et avec par définition $S\equiv\hat{S} / \xi$ où $\hat{S}$ est indépendant de $\xi$.

En reportant le développement (C.9) dans (C.3), il vient

$${\cal{A}}^{\mu;\alpha}_{\verb*+ +;\alpha} + \frac{i}{\xi}[2\... ...l{A}}^{\mu} - R^{\mu}_{\verb*+ +\alpha}{\cal{A}}^{\alpha} = 0$$ (39)

On introduit le champ de vecteur

$$k_{\alpha} = S_{,\alpha}$$ (40)

pour lequel les rayons lumineux sont des courbes tangentes à $k_{\alpha}$ en tout point. Le paramètre affine v le long d'un rayon lumineux est tel que les composantes contravariantes $k^{\alpha}$ s'écrivent

$$g^{\alpha \beta} k_{\beta} = k^{\alpha} = \frac{dx^{\alpha}}{dv}$$ (41)

L'approximation de l'optique géométrique consiste à faire tendre la longueur d'onde optique $\lambda$ et ipso facto $\xi$ vers 0.

Les termes dominants de (C.10) sont les puissances négatives de $\xi$ alors que l'amplitude ${\cal{A}}^{\mu}$ se réduit à son premier terme $a^{\mu}$. (C.10) conduit en utilisant (C.11) et (C.12) aux équations fondamentales suivantes de l'optique géométrique dans un espace-temps courbe

$$k^{\alpha} k_{\alpha} = g^{\alpha \beta} k_{\beta} k_{\alpha} = 0$$ (42)

$$k^{\alpha} a^{\mu}_{\verb*+ +;\alpha} = -\frac{1}{2} a^{\mu} k^{\alpha}_{\verb*+ +;\alpha}$$ (43)

La relation (C.13) traduit l'isotropie du vecteur d'onde: les photons ont une masse nulle. Cette équation régit l'évolution de la phase du rayonnement électromagnétique. En la différentiant, et en remarquant que $k_{\alpha}$ est le gradient d'une fonction scalaire, il vient d'après (B.5)

$$k^{\beta} k_{\alpha;\beta} = 0$$ (44)

qui est l'équation des géodésiques: les rayons lumineux sont des géodésiques isotropes de l'espace-temps.

La relation (C.14) est l'équation d'évolution de l'amplitude du potentiel vecteur. Soit l'amplitude scalaire

$$a = (-a^{\mu}\overline{a}_{\mu})^{1/2}$$ (45)

le signe moins étant lié au caractère du genre espace de $A^{\mu}$. L'équation de propagation de a obtenue à partir de (C.14) s'écrit

$$k^{\alpha} a_{; \alpha} \equiv \frac{da}{dv} = -\frac{1}{2} a k^{\alpha}_{\verb*+ +;\alpha}$$ (46)

où dv est l'élément différentiel le long d'un rayon lumineux.

En faisant l'hypothèse que la perturbation n'atteint pas la source lumineuse, dorénavant supposée à l'infini, l'intégration de (C.17) le long d'un rayon lumineux donne

$$a\vert _{obs} = -\frac{1}{2} \int \limits_{-\infty}^{v_{obs}... ...c{1}{2} \int \limits_{-\infty}^{v_{obs}} a \Box_g S \verb*+ +dv$$ (47)

où par définition, $\Box_g S \equiv S^{;\alpha}_{\verb*+ +;\alpha}$ qui s'identifie à $k^{\alpha}_{\verb*+ +;\alpha}$ d'après (B.5) et (C.11). L'indice g souligne qu'il du d'Alembertien sur l'espace courbe, qui s'écrit, appliqué à une quantité scalaire F

$$\Box_g F = F^{; \mu}_{\verb*+ +;\mu} =\frac{1}{\sqrt{\vert g\vert}} (\sqrt{\vert g\vert} g^{\mu \nu} F_{,\nu})_{\mu}$$ (48)

où |g| est le déterminant de la métrique.

La relation (C.18) est exploitée au $\S5$ afin de discuter l'approche classique de la scintillation par une perturbation matérielle.

Une relation utile par la suite porte sur a² dont l'équation d'évolution est d'après (C.17)

$$\frac{da^2}{dv} = -a^2 k^{\alpha}_{\verb*+ +;\alpha}$$ (49)

À l'approximation de l'optique géométrique, la condition de jauge (C.4) donne

$$a^{\alpha} k_{\alpha} = 0$$ (50)

Le tenseur (C.1) du champ électromagnétique se simplifie en

$$F_{\mu \nu} = {\cal{R}}e(i[k_{\mu} a_{\nu} - k_{\nu} a_{\mu}]e^{iS})$$ (51)

ce qui amène à l'expression suivante du tenseur impulsion-énergie (C.5), moyenné sur une période

$$T^{\mu \nu} = \frac{1}{8 \pi} a^2 k^{\mu} k^{\nu}$$ (52)

Le flux d'énergie électromagnétique (C.7) sur le détecteur s'écrit alors

$${\cal{F}}(x,u) = \frac{c}{8 \pi} a^2(x) (u^{\mu}k_{\mu})^2_{obs}$$ (53)

L'énergie d'un photon mesurée par un observateur de quadrivitesse $u^{\mu}$ est $\epsilon~=~c\hbar~(u^{\mu}~k_{\mu})$ où $\hbar$est la constante de Planck, d'où le flux de photons compté par l'observateur de quadrivitesse $u^{\mu}$

$${\cal{N}}(x,u)=\frac{1}{8 \pi \hbar} a^2(x) (u^{\mu} k_{\mu})_{obs}$$ (54)

qui s'exprime en fonction du décalage spectral z (Ellis 1971) défini par

$$1+z = \frac{(u^{\mu} k_{\mu})_{em}}{(u^{\nu} k_{\nu})_{obs}}$$ (55)

soit

$${\cal{N}}(x,u)=\frac{1}{8 \pi \hbar} a^2(x) \frac{( u^{\mu} k_{\mu})_{em}}{1+z}$$ (56)

Le second terme dans le membre de droite de (C.27) décrit des variations spectrales dues aux changements de fréquence des photons à la traversée de la perturbation gravitationnelle. Ces changements de fréquence constituent une perturbation du décalage spectral cosmologique.

Les variations de a² traduisent un effet géométrique sur la section d'un faisceau lumineux, comme le montre la relation suivante: soit ${\cal{A}}$ l'aire de la section d'un faisceau lumineux; d'après Misner et al. (1973)

$${\cal{A}} a^2 = const.$$ (57)

Il est intéressant d'expliciter le terme géométrique en tant qu'intégrale d'une certaine quantité le long de la ligne de visée. Différentiant (C.20) par rapport à dv, il vient

$$\frac{d^2 a^2(x,u)}{dv^2} = a^2(x,u) [(k^{\beta}_{\verb*+ +;\beta})^2 - k^{\alpha} k^{\beta}_{\verb*+ +;\beta ;\alpha}]$$ (58)

Le dernier terme s'écrit, en tenant compte de (B.6) et (C.15)

$$k^{\alpha} k^{\beta}_{\verb*+ +;\beta ;\alpha} = - k^{\alpha... ...ta}_{\verb*+ +;\alpha} - k^{\alpha} k^{\beta} R_{\alpha \beta}$$ (59)

En définissant $\theta = k^{\beta}_{\verb*+ +;\beta}$, et $\vert\sigma\vert^2~=~[k^{\alpha}_{\verb*+ +;\beta}~k^{\beta}_ {\verb*+ +;\alpha}~+~\theta^2]$, la relation (C.29) s'écrit

$$\frac{d^2 a^2}{dv^2} = a^2 [\vert\sigma\vert^2 + k^{\alpha} k^{\beta} R_{\alpha \beta}]$$ (60)

Cette équation est généralement présentée sous la forme d'une équation portant sur la longueur ${\cal{A}}^{1/2}$. L'équation de propagation de ${\cal{A}}^{1/2}$ est obtenue à partir de (C.28) et (C.17). Elle s'écrit

$$\frac{d {\cal{A}}^{1/2}(x,u)}{dv} = \frac{1}{2} {\cal{A}}^{1/2}(x,u) k^{\alpha}_{\verb*+ +;\alpha}$$ (61)

Un calcul analogue à celui mené pour obtenir (C.31) conduit à

$$\frac{d^2 {\cal{A}}^{1/2} }{dv^2} = - {\cal{A}}^{1/2} [\ver... ...gma'\vert^2 + \frac{1}{2}k^{\alpha} k^{\beta} R_{\alpha \beta}]$$ (62)

avec $\vert\sigma'\vert^2~=~[\frac{1}{2}k^{\alpha}_{;\beta}~k^{\beta}_{;\alpha}~-~\frac{1}{4} \theta^2]$. C'est l'équation fondamentale décrivant l'effet d'une perturbation gravitationnelle sur la géométrie d'un faisceau lumineux (Sachs 1961, Misner et al. 1973), cf. Fig.C.2.

Le tenseur de Ricci, lié au contenu énergétique de l'espace-temps par les équations d'Einstein (B.8), traduit une propriété focalisante de la matière.

 

Figure: Plan de coupe d'un faisceau de rayons lumineux.